קורס מתמטיקה לבית ספר ישראלי

אנחנו מציעים שיטה לקידום עבודה עצמית בלימודי מתמטיקה.

קודם נעשה סקירת המצב בהוראת מתמטיקה . מחקר של מכון "טאוב " קובע שתפקודם של 40% מהתלמידים בישראל בשנה"ל תשס"ו היה לקוי.איך לשנות את זה ?

שיטת הלמידה שהייתה ,לדוגמה , בבריה"מ לפני 40 שנה אפשרה לרוב התלמידים לקבל תעודת בגרות ולרכוש ידע .הגישה זו הייתה מלווה בספרי עזר ללימוד עצמי.

( ספרי לימוד במתמטיקה של אנטונוב , לידסקי ועוד ) אחרי מלחמת השנייה בעולם

שבמהלכה ואחריה רבבות נשארו ללא השכלה בסיסית והיה צורך למצוא להם דרך

לרכישת ידע , קבלת השכלה והשתלבות בחיים. הספרים האלה היו מיועדים לזה.

בתקופה ההיא מערכת החינוך בברה"מ למרות הקשיים הרבים (הרס אחרי המלחמה וחוסר תקציב) עדיין החזיקה מעמד. הפירוק התחיל בסוף שנות ה- 60 ,

כאשר הממשלה החליטה שכל אחד שלומד בבית ספר אמור לקבל תעודת בגרות.

באותו הזמן השתנתה תוכנית הלימודים במתמטיקה במטרה לשדרג אותה . השינוי

לא היה מוצלח, כי לא היו שיטות לימוד של החומר החדש ולמרות שהספרים החדשים

נכתבו ע"י המתמטיקאים ברמה הגבוהה ביותר , השינוי הביא לסילוק של החלק הטכני ,למחשוב הלימודים ,שהפך להיות מחסום בדרך לקידום אמיתי.

גם בארצות הברית באותה תקופה חלו שינויים בתוכן הוראת מתמטיקה שהביאו

למשבר במערכת החינוך וצורך לשפר אותה באופן משמעותי.

התופעה זו הייתה קיימת גם בישראל . יחד עם זאת ישראל עדיין לא הגיעה למצב

שכל בוגר בית ספר הוא זכאי לתעודת בגרות באופן אוטומטי.

שינוי תוכן החומר נעשה בכוונה טובה ,כי היה כדאי להכיר את התלמידים עם הנושאים

כמו חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ,תורת הקבוצות ,ההסתברות, סטטיסטיקה וכו'

בישראל לומדים חלקים מתמטיים החדשים ביותר ( לדוגמה, תכנון לנארי)

לימודי מתמטיקה בבית ספר ישראלי החל מכיתה ח' – ט' עשויים כך שהתלמידים מחולקים להקבצות ע"פ הצלחתם הקודמת . בכל הקבצה חומר שונה בתוכן ולתלמיד

שהוא לומד בהקבצה מסוימת ולא מקבל תגבור נוסף כמעט ואין מצב לעלות לרמה יותר גבוהה וזה מצמיד אותו למקום קבוע ולא נותן להתקדם.

אם כן לו היו ההקבצות החלשות יותר קטנות , עם השגחה על התלמידים החלשים

זה היה יותר יעיל ,אבל למעשה זה לא קורה והתלמיד נשאר להתמודד עם בעיות לבד.

החומר החדשני שהוכנס לתוכנית הלימודים הביא להכשרת הלומד באופן פורמלי.

ניתן דוגמה : עלייה או ירידה של פונקציה נלמד קודם בעזרת הערכות וכדי להשתמש בהן היה צריך ידע ומיומנות . היום גוזרים פונקציה עם נגזרות , זה מביא לתוצאה, אך

לא להבנה עמוקה של הנושא .בזמנינו הפעולות הן יותר ממוחשבות אך זה לא בהכרח מצביעה על ידע ומיומנות.

בחלק של חקירת פונקציות קודם עשו דגש על המושגים כמו פונקציה זוגית

או אי זוגית , מחזורית וכו'. כעת זה מוזנח כי לזה חייבים טכניקה טובה שחסרה

לרוב התלמידים.

עוד דבר חשוב קשור לדיוק החישובים . הגאון המתמטיקאי ק. גאוס כתב ,שבאף

פעולה במתמטיקה לא נירא כל כך בולט חוסר ידע מתמטי ,כמו בשאיפה לחישובים

מדויקים.תלמיד ישראלי בממוצע בכל תשובה שהיא אינה שלמה רואה בעיה חמורה .

על טכניקה של הערכות ואומדנים בכלל אין מה לדבר.

אבל המכה הקשה ביותר ספגה גיאומטריה .כמו בדיחה ניתן לשמוע מפיהם של

תלמידים ,שהיום אין להם גיאומטריה כייוון שיש להם מתמטיקה.מתמטיקה בשבילם זה רק

אלגברה. חומר גיאומטריה של המישור עוברים החל מכיתה ח' ( בשנים האחרונות

מתחילים בכיתות ז' ) ומסיימים בכיתה י'.לגיאומטריה של המרחב יש מקום רק

בכיתה י"א – י"ב בצורה מצומצמת . אין חשיבה מרחבית לתלמידים ולכן תרגילים יותר

קשים לא לומדים כלל. יחד עם זאת נציין שבישראל עושים רישום הפתרון בצורה יותר מסודרת אך לא מלמדים טוב איך להגיע לרישום הפתרון.

ההעדר מהשעורים מכל מיני סיבות שהיא מהגבוהות בעולם ,(כך קובע מחקר של מכון "טאוב" ) , גם משפיע על רמה קליטת החומר , כי אחרי שהתלמיד חוזר ללימודים הוא לא מסוגל לקלוט את החומר .במתמטיקה זה יותר חשוב מאשר במקצוע אחר ,כי יש קשר מובהק בין הנושאים .

פרופ' ר.אהרוני בספר "חשבון להורים" מציין ,שחוסר ידע בחומר שנלמד

בעבר זאת סיבה העיקרית לפחד של התלמידים משעור מתמטיקה. השלמת החומר הנאבד זאת מסימה הראשית שעומד על הפרק לגבי התלמיד בעיתי.

מבחינת אכלוס כיתות בשיעורי מתמטיקה המצב בעיתי במיוחד. מספר תלמידים בכיתה יכול להגיע עד 40. מהניסיון : מספר התלמידים בכיתה לא אמור לעלות על 20 כדי שקליטת החומר תהיה מלאה . הוספה כל תלמיד נוסף מעבר למספר זה מוריד את רמת התפקוד של רוב מתלמידי הכיתה. מורה מתחיל לעבוד עם חלק מהכיתה שמסוגל לעבוד בתנאים של עומס , חלק מהתלמידים שלא מסוגלים לעבוד מכל

מיני סיבות שונות ( בעיות ריכוז , קשב ,היו נעדרים בעבר וכו' ) במקרה הטוב יושבים בכיתה ללא תועלת אך גם ללא הפרעות,וחלק אחר כברירת מחדל גורמים לבעיות משמעת.

בדרך חיסכון של כיתות על חשבון רמת התלמידים המדינה פוגעת בעצמה , כי העובדים

העתידיים יהיו אינם משכילים ואינם מיומנים.

כיוון שחלק מהתלמידים לא מתפקדים מספיק טוב ,אין היגיון להקפיד על

ביצוע שיעורי בית : מי שלא עבד מספיק טוב בכיתה הוא לא מסוגל לעשות אותם ,

כי לרוב התלמידים אין יכולת לעבוד באופן עצמאי בכלל.

לכן בדיקת שיעורי בית מלאה הופכת להיות ריקה מתוכן. הכי משתלם לתת

שיעורי בית ,לענות על שאלות תלמידים שעושים אותם ,לחזור על תרגילים הכי אופייניים ובזה להסתפק.

לפתירת הבעיה מסוג זה כדאי שבבית ספר יהיה יועץ מתמטי מקצועי שיטפל

בתלמידים בעיתיים מבחינה מקצועית, ויעבוד עם תלמידים מול המורה בכיתה.

בעשור האחרון התחיל תהליך שבו המורים לא עוקבים אחרי עבודת

התלמידים לאורך כל המחצית אלא מסתפקים בציוני מבחנים ובחנים – כעיקרון שניים

כל אחד במחצית

במצב כזה רוב התלמידים מתחילים לעבוד במרץ רק לפני המבחן או בוחן. ישנם כאלו שמצליחים להתרגל לתהליך עבודה כזה . זה לא תקין לצורכי רכישת ידע לאורך זמן.ישנם שני סוגים של זיכרון : זיכרון טווח קצר וזיכרון טווח ארוך.

כדי שידע שנרכש במהלך הלימודים ייקלט טוב בזיכרון טווח ארוך ע"פ מחקרים

צריך לחזור בחומר לפחות 4 פעמים:

- בפעם הראשונה זה לעשות שיעורי בית אחרי השיעור בכיתה ולבדוק אותם בשיעור הבא.

- בפעם השנייה חוזרים בעוד כמה שיעורים בכיתה במהלך הכנה לבוחן ותיקו-

נו אחריו.

- בפעם השלישית זאת חזרה לקראת המבחן ותיקונו.

- ובפעם הרביעית לחזור על החומר בסוף שנת הלימודים לקראת חופשת הקיץ.

למעשה אף אחד מהמחזורים אלה לא מתבצע באופן מלא ( אם מתכוננים למבחן או בוחן אז לא עושים תיקון אחריו וכדומה ), והחזרה הרביעית (אחרונה) בשנים אחרונות

לא יוצאת לפועל בגלל שהכנת תעודות גמר דורשת זמן להעברת הציונים למחשב ולכן

המורים אמורים להעביר ציונים מראש מסיבות טכניות. ולאחר מכן כל הלימודים מועברים למתכונת אחרת – מרבים בטיולים ,סיורים, משחקים לקראת החופש הגדול.

הספק החומר שנלמד באותה כיתה בבתי ספר שונים לא זהה. יש פערים גדולים

לא רק באיכות הקליטה אלא גם בתוכן .

זה גם נובע מחופשיות שמנצלים מורים לגבי תכנון וביצוע תוכנית הלימודים

ולמרות שישנן הנחיות ברורות בכל מה שקשור לחומר שהתלמידים אמורים לקבל במהלך

שנה"ל למעשה, תלמיד שעבר בית ספר נמצא במצב שונה מהתלמידים שכבר למדו שם שנה קודם.

במיוחד זה קשור לגיאומטריה שלגביה יש פערים גדולים בין הנושאים בכיתות

ח' ו- ט'.ישנם בתי ספר שבסוף כיתה ח' מספיקים לעבור חומר כולל משולשים שווי

שוקיים ויש בתי ספר שמגיעים רק לזוויות קודקודיות.ההבדל משפיע משמעותית במהלך

כיתה ט'. אותו דבר לגבי הנושא "טרפז" ו"קטע אמצעים" שחלק לא לומדים בכיתה ט' וזה עובר לכיתה י' .

לגבי גיאומטריה של המרחב , שהיא בכלל נמצאת בשולי תוכנית הלימודים.

ע"פ התוכנית לומדים אותה בכיתות י"א - י"ב , רמת החומר אפילו לתלמידים ברמה

מתקדמת היא רק בסיסית ותוכנה זה חישוב נפחים ושטחים ע"פ הנוסחאות הנתונות.

בעיות הקשורות לחומר יותר איכותי ( לדוגמה , בעיות עם חתכים )לא צפוי בכלל כי

לתלמידים יש רמת החשיבה הנדסית מאוד נמוכה ובוני תוכנית הלימודים לא דואגים לפתח אותה.

כל החומר שאינו נקלט במהלך הלימודים מצטבר והופך לאורך זמן את לימודי

מתמטיקה לבעיה של ממש

בקשר לחומר לימוד שנלמד בעבר ברמה לא מספיקה נזכיר גם את ה"מיקוד" – הורדה

חלק מהחומר בשאלוני בגרויות , כאשר חודשיים לפני הבגרות מתפרסם חומר שיורד

מהשאלונים בבגרות הקרובה .

המצב זה קיימת כבר משנת תשנ"ז כאשר בג"צ קיבל ערור של מועצת

התלמידים ארצית נגד החלטת הממשלה להפסיק את ההגרלות שהיו במשך שלוש

שנים הקודמות . במקצועות שעלו לגורלם בהגרלה בחינות בגרות לא התקיימו באותו

מועד וציוני בגרות התקבלו ע"פ ציוני מגן. כשהחגיגה הזו הייתה אמורה להסתיים,

הגיעו לפשרה : כל הבגרויות מתקיימות אך במסגרת מצומצמת ( 3/7 מתוך החומר יורד).

למעשה , חלק מהתלמידים לא משקיעים מספיק עד לפרסום המיקוד. אחרי הפרסום מתחיל תהליך עבודה אמיתי. ספק רב אם החומר שירד יזכה בעיני התלמיד לחזרה עליו. כך מצטבר חומר חסר וזה משפיע באופן שלילי על קליטה החומר שילמד התלמיד בהמשך.

גם נושא ההתנהגות שזכה לתשומת לב בתקופה אחרונה קשור לשאלות שאנחנו דנים בהם מכיוון שתלמיד שקולט את החומר ברמה לא מספיקה הוא רואה את עצמו מחוץ לשיעור ובלא מעט מקרים זה מביא להפרעות ולאלימות בקרב התלמידים.

תוכן שיטה לקידום עבודה עצמית במתמטיקה.

עבודה עצמית בלימודי מתמטיקה אמורה להיות אחד מכלי עזר ללימודים

בבית ספר , אחד מאמצעים שעוזרים לשקם את הידע בחלק מנושאים שנשכחו , להשלמת חומר שכבר נלמד או ילמד בעתיד.

ספרי לימוד במתמטיקה הקיימים כעת בישראל , הם בעצם מאגרי שאלות ,אך רובם אינם מתאימים לעבודה עצמית. יש ספרים ,שכוללים הסברים ותרגילים, אבל ללא

מורה תלמיד מתקשה ליצור קשר בין ההסברים לבין התרגילים שהוא אמור לפתור לבד.

חייב להיות מעבר שבמהלכו יש לתלמיד ליווי צמוד של חומר ויועץ כדי להגיע לרמה שמאפשרת לו להמשיך לבד.

החומר שאנחנו מגישים זה בעצם חומר לימוד במתמטיקה לכל הכיתות החל מכיתה ז' ועד י"ב לכל הרמות. החומר מחולק לפרקים כך, שאם התלמיד ראוה צורך לפנות לפרק מסוים ,הוא ישר מגיע לפרק ומקבל כל משצריך כדי לקלוט ולתרגל אותו.

החומר מוגש כך שנותן לתלמיד כל הכלים כדי לעבור , לשחזר, לחזור בנושא ולהתקדם

בהמשך. יחד עם זאת צריך לציין , שכל פרק הוא חומר בסיסי בלבד ומי שכבר נמצא ברמה יותר מתקדמת ,יכול להשתמש בו לצורך חזרה ובדיקה וגם במקרה של חזרה מוצלחת לקבל המלצות על המשך לימודיו. חשוב לציין שכל פעולה ברמה בסיסית מלווה

בהסבר מלא ,שבמיוחד חשוב במקרה של אי שליטה של התלמיד בחומר .

החומר מבוסס על כמה עקרונות :

קביעת זמנים תמידים ללמידים,
תכנון עבודה עצמית , כאשר התלמיד מתכנן עבודה כך ,שידוע לו מראש מתי הוא לומד קטע מהחומר זה או אחר,
מחזוריות הלימודים למהלך השבוע , לצורך זה כל פרק בחומר מכיל

כעיקרון 24 עמודים ,שזה מספר שמתחלק ב- 1, 2, 3, 4, 6, 12 כלומר ניתן

לחלק את העבודה למספר ימים : 1,2,3,4,6 ( תלוי ביכולתו ורצונו התלמיד ),
שחזור החומר , כשהתלמיד עוקב אחרי הנעשה בקטע מסוים , ואחרי זה חוזר לבד על אותו קטע בלי להסתכל במקור ,
חזרה על החומר , כאשר התלמיד מיד אחרי שמשחזר החומר מסוים גם פותר

תרגיל דומה ששונה מקודמו רק בערך של הנתונים ,

          חשוב להדגיש שכל החומר מוגש בצורה עקבית שעוזר לתלמיד לעקוב אחרי

           הפעולות שנעשו.

לתלמיד בעת חזרה על החומר חשוב לדעת מה הפעולה שעליו לעשות בצעד הבא. כדי לנטרל את חוסר ידע הקודם במיוחד בחומר ברמה בסיסית , כל פעולה מלווה בהסבר הנימוקים ,שמצדיקים את הפעולה , כדי שהחומר ייקלט היטב ע"י

התלמיד(זה חשוב במיוחד לחומר הקשור לתלמידים הלומדים הרמות הנמוכות ). נתאר סדר עבודה של התלמיד : הוא מקבל פרק מסוים ,מתכנן לעצמו קצב עבודה שבועי ( יומי ושעות עבודה ) תוך כדי חילוק 12 ( כמות החומר ) למספר ימים

שבחר ( ההנחה   שהמשך עבודה יומית הוא קבוע).

       אחרי תכנון עבודה על התלמיד ללמוד את החומר במשך הזמן שהוא הקציב לעצמו,

ולחזור בחומר תוך כדי פתירת תרגיל שאחרי החומר שעבר. במקרה של חומר המתואם עם שאלונים לבגרות 001 ,002 התלמיד כחזרה יכול לבחור תרגיל מתואם עם מהמאגר. אם התלמיד לא הספיק לעמוד בזמן שהוא החליט לצורך לימוד החומר עליו להאריך את זמן לימודיו כדי לעמוד בלוח הזמנים.

         בעת פתירת התרגיל המיועד לחזרה אין פתרון שהתלמיד יכול להשתמש בו. אך מכיוון שהתרגיל שונה רק במספרים , אז התלמיד יכול להיעזר בתרגיל הקודם עם דרך

מלאה לפתרון. בכל מקרה כל תרגיל שעל התלמיד לפתור מלווה בתשובה סופית והתלמיד יכול לבדוק האם תשובתו היא נכונה.

        אחרי סיום הפרק ברמה בסיסית ניתן לשלוח פתרונות שהתקבלו ע"י התלמיד תוך כדי חזרה על מנת לקבל יועץ והדרכה   להמשך לימודי הפרק ברמה גבוהה יותר מתוך ספרי לימוד שישנם ברשותו התלמיד.

השלב זה הוא נפרד מהשלב הבסיסי של לימודי הפרק .

        גם אחרי ביצוע השלב השני ניתן גם לשלוח תוצאותיו ולקבל יועץ והדרכה חדשים.

הינה רשימת הפרקים לעבודה עצמית :

1. קבוצות                              2. שיטה כתיבת המספרים .       3.פעולות חשבון

4.מספרים מכוונים וציר מספרים 5.תבניות מספר 6.משוואה ואי שוויון (נעלם אחד)

7.מערכת צירים.           8. שתי משוואות עם שני נעלמים. 9-10 . בעיות עם משוואות

11.חזקות ושורשים       12. נוסחאות כפל מקוצר              13.טכניקה אלגברית

14.קומבינטוריקה , בינום ניוטון     15.פונקציות                16. הפונקציה הקווית

17.הפונקציה הריבועית        18.משוואה ריבועית    19,20,21 .גיאומטריה ,מושגי יסוד,

משולשים     22,23. מרובעים        24,25,26. מעגלים , שטחים. 27,28. קטעים

פרופורציה , דמיון משולשים .   29. סדרות                  30. משוואות וגרפים

31,32,33,34. בעיות מילוליות.   35. קריאת גרפים      36. גיאומטריה אנליטית

37,38. טריגונומטריה (חישובים )              39,40,41. סטטיסטיקה ( מבוא )

42,משוואות ומערכות ( כולל פרמטרים )                     43. משוואות מערכיות

44.בעיות גדילה ודעיכה                                  45,46,47.טריגונומטרית המישור

48,49,50. טריגונומטרית המרחב                 51. ההתנהגות של פונקציה

52,53. ההסתברות.             54. סטטיסטיקה ( המשך )     55. תכנון לנארי

56. סדרות ( המשך )      57. גיאומטריה אנליטית ( המשך ) . 58.בעיות מילוליות

59,60,61. חשבון דיפרנציאלי       62,63. חשבון אינטגרלי   64. חשבון דיפרנציאלי (המשך )    65. חשבון אינטגרלי ( המשך )     66. פונקציות טריגונומטריות

67. סדרות ואי שוויון .      68,69. ההסתברות     70. אינדוקציה   71. לוגריתמים

72. משוואות טריגונומטריות       73. בעיות תנועה , הספק, מכירה, קנייה , תמיסות

74. חישוב שטחים בעזרת אינטגרלים                    75. גיאומטריה אנליטית

76. מספרים מרוכבים            77. וקטורים          78. וקטורים ופונקציות לוגריתמיות

ומערכיות

פרקים מחוץ לתוכנית בית ספרית :

79. בעיות בנייה ( גיאומטריה )                               80,81,82. חשבון לסקרנים

83,84,85,86.   אלגברה לסקרנים                         87. חשבון בדרכים



                                                 המסקנות:

-       שיטת הקידום עבודה עצמית של התלמיד במתמטיקה יכולה לעזור בלימודי

        מתמטיקה בכל הרמות בתנאים של כיתות עמוסות , מחסור מורים במקומות

        שונים , במיוחד במקומות מרוחקים ומבודדים.

-       שימוש בשיטה מביא לשיפור ניכר בידע מתמטי ובציונים בכיתה.

הפרויקט נכתב בשפה העברית, מתואם לתוכנית הלימודים במתמטיקה (כיתות ז'- י"ב),

כולל בסה"כ 1500 עמודים ונבדק במאות תלמידי בית ספר ותלמידים פרטיים

           כדי לתת לקורא הבנה ברורה בקשר לחומר שאנחנו מגישים הנ"ל מצורפת

דוגמה של חומר מהפרק הקשור לנושא "משוואות עם נעלם אחד".

דוגמה